ב-Online
 
 
 
 
 
 
 
מדעי ה-WTF 
מדעי ה-WTF וחידת הבתים המיתולוגית 
 
 לא ידעתם שמים, חשמל וגז לא הולכים ביחד?    צילום: GettyImages/אימג'בנק    
מדעי ה-WTF |
 

משחקים לטאבלט, חידות נייר-ועפרון ויצורים דו-ממדיים: מדעי ה-WTF מגלים קשרים

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

בטור של השבוע שעבר הזכרתי אפליקציית משחק לאנדרואיד, שהמטרה בה להזיז נקודות כך שהקווים שמחברים ביניהן לא יחצו זה את זה. הצגתי שאלה מעניינת שקשורה למשחק (האם לכל סידור של נקודות וקווים יש פתרון) וטענתי שהתשובה לשאלה נמצאת בענף במתמטיקה שנקרא טופולוגיה. הקורא יואב העיר, בתגובות, שהתחום המתמטי המתאים הוא דווקא תורת הגרפים. ובכן, שנינו צודקים: התחום המדויק נקרא "תורת הגרפים הטופולוגית", וקוראים ששוקלים קריירה מתמטית ממוקדת בעקבות הטור הקודם מתבקשים להתמחות בתחום זה. הוא יעזור להם מאד בעוד משחק פופולרי אחד, שגרם לרבים וטובים לשבור את הראש: מים, חשמל וגז.

 

להניח את התשתיות

מדובר במשחק ידוע למדי, שהעביר לרבים מאיתנו שיעור או שניים בבית הספר בריכוז ועניין שרוב המורים יכולים רק לחלום עליהם. הנה הכללים: מציירים על דף שלושה בתים ומתחת להם שלושה מקורות של תשתיות (מים, חשמל ו-ניחשתם נכון!-גז בישול), כמו באיור למטה. המטרה היא לחבר בקו כל מקור לכל אחד מהבתים, באופן כזה ששום קו לא יחצה קו אחר. אתם מוזמנים לעצור לרגע את הקריאה ולנסות לפתור את החידה בעצמכם.

 
חידת מים, חשמל וגז (איור: עידו גנדל)
 חידת מים, חשמל וגז (איור: עידו גנדל) 
 
 

פתרון לא מדויק

התייאשתם? לא נורא. למעשה, זה יהיה מוזר מאד אם הצלחתם, כי מדובר בבעיה ללא פתרון - ויש לזה אפילו הוכחה, בדיוק מאותו תחום של תורת הגרפים הטופולוגית שהזכרנו קודם. מי שמעוניין לראות את ההוכחה הזו מוזמן לקרוא את הפוסט הנהדר בבלוג הנהדר "לא מדויק" של גדי אלכסנדרוביץ'. שם אנו מגלים גם את התשובה לשאלה ששאלתי בהתחלה: כן, יש סידורים של קווים ונקודות שאי אפשר לפתור בלי שקווים יחצו זה את זה. ליתר דיוק, יש שני סידורים בסיסיים כאלה - זה של שלושה בתים מחוברים לשלוש תשתיות, וזה של פנטגרם כלוא בתוך מחומש - ועוד אינסוף סידורים שמכילים בתוכם לפחות אחד מהשניים.

 

אגב, יש אנשים שיטענו בלהט שהם דווקא מצאו פתרון לחידת הבתים והתשתיות. הם לא משקרים, הם פשוט נחשפו לגרסה בעייתית של החידה - גרסה שמציגה את מקורות התשתית כעיגולים, ומאפשרת להתחכם באמצעות העברת קווים דרך העיגולים עצמם, כמו שנעשה בתמונה למטה. מבחינה טופולוגית מדובר ברמאות: כביכול, לכל תשתית יכולים להיות שלושה מקורות נפרדים (על ההיקף של העיגול). בניסוח פורמלי, "זה לא פיירי".

 
פתרון מתחכם לגרסה הבעייתית של החידה (איור: עידו גנדל)
 פתרון מתחכם לגרסה הבעייתית של החידה (איור: עידו גנדל) 
 

תורת הגרפים בחיי היומיום

הכל נהדר בתאוריה, אבל מה תורת הגרפים הטופולוגית נותנת לנו בעולם האמיתי, שבו יש שלושה ממדים ואפשר להעביר חיבורים זה מעל זה? ובכן, העובדה שאפשר לעשות משהו לא מבטיחה שכדאי לעשות אותו: אם אנחנו מתכננים רשת של כבישים ופסי רכבת ולא רוצים יותר מדי צמתים עם רמזורים, כל העברה של נתיב מסוים מתחת לנתיב אחר, במנהרה או על גשר (מה שמכונה "הפרדה מפלסית") תעלה לנו המון כסף שאפשר היה לחסוך עם תכנון מתמטי נכון.

 

דוגמה מפורסמת נוספת היא מתחום האלקטרוניקה. תכנון יעיל (מבחינת עלות ומורכבות הייצור) של מעגלים חשמליים, ואלה יכולים להיות מעגלים מודפסים כמו בתמונה למטה או מעגלים משולבים זעירים כמו שיש בתוך מעבדים או "ג'וקים", מחייב ניצול מקסימלי של מישורים: כלומר, לדחוס לתוך מישור אחד כמה שיותר חיבורים חשמליים נחוצים בין הרכיבים השונים. כמובן שחצייה של חיבורים אסורה בהחלט - היא תקצר את המעגל והכל יישרף. אז איך מתכננים את הניצול המיטבי הזה של המישור? תורת הגרפים הטופולוגית, בייבי. בפעם הבאה שמישהו יציק לכם שאתם משחקים יותר מדי בסלולרי או בטאבלט, תגידו שאתם מכינים את עצמכם לעתיד מקצועי בתכנון מערכות אלקטרוניות... ואל תספרו שכבר יש תוכנות שיעשו את רוב העבודה בשבילכם.

 
חשמל, חשמל וחשמל: צדו התחתון של מעגל מודפס
 חשמל, חשמל וחשמל: צדו התחתון של מעגל מודפס   צילום: עידו גנדל 
 

הכל קשור

אדווין אבוט אבוט, מחבר "שטוחלנדיה"
 אדווין אבוט אבוט, מחבר "שטוחלנדיה" 
 צילום: ויקיפדיה 
 

קשה מאד לדבר על מישורים ודברים דו-ממדיים בלי להזכיר את שטוחלנדיה (Flatland), ספר משנת 1884 מאת אדווין אבוט אבוט (פעמיים, זו לא טעות). בספר מתוארת ארץ דו-ממדית, אשר ריבוע אחד מבין תושביה זוכה להכיר כדור תלת-ממדי ונחשף לראשונה לקונספט המדהים של ממד שלישי. הוא מתחיל להגות באפשרות של ארץ חד-ממדית ושל ארץ עם ארבעה ממדים ואפילו יותר - רעיון שזוכה ללעג מצד הכדור המשכיל. מלבד היותו משל חברתי ביקורתי, הספר מעורר כמה שאלות מעניינות בנוגע לחיים בדו-ממד, וביניהן חידה טופולוגית: איך בנויה מערכת העיכול של השטוחלנדיים?

 

חישבו על כך: מערכת העיכול היא הרי מעין צינור ארוך, שמבצע כל מיני תהליכים כימיים על המזון שעובר מפתח אחד שלו לפתח השני. בעולם דו-ממדי, צינור עם שני פתחים פירושו חציה של הישות המישורית לשני חלקים. האם יש אופציות אחרות? האפשרות הראשונה היא שכניסת המזון ויציאתו יתבצעו מאותו פתח, מה שיגרור הרבה בעיות טכניות אבל לפחות ישאיר את הישות שלמה, והאפשרות השניה היא שני פתחים שכל אחד מהם מסוגל, בתורו, "להינעל" ולהחזיק את המבנה השלם. כלומר, בזמן שהפתח הקדמי נפתח לקליטת מזון, האחורי נסגר בכוח מגנטי, או בעזרת מנגנון מכני כלשהו, ולהיפך. האוכל חוצה את הישות הדו-ממדית בלי לחתוך אותה.

 

קוראים נאמנים של הטור הזה יוכלו, אולי, לראות את הדמיון המפתיע שבין בעיית העיכול של השטוחלנדיים לבין בעיה טופולוגית מעשית אחרת שהוזכרה כאן לפני קרוב לשנה - איך למנוע חיתוך של כבל, אשר מעגן מוקש ימי לקרקעית הים, על ידי כבל אחר שנגרר על ידי אוניות וחולף בניצב לו. רואים את האנלוגיה? בסופו של דבר, אם להפוך את האנלוגיה למטאפורה, כל הרעיונות הנקודתיים מתחברים ומתקשרים זה לזה בקווים: השאלה היא רק איך מסדרים אותם נכון!

 
 
 
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ ilan @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
 
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ ilan @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
 
 
תגובות
הוסף תגובה0 תגובות
הוספת תגובה
מאת
 
נושא
 
תוכן
 
 
 
 
תודה! תגובתך התקבלה.
התגובה תתפרסם בכפוף לתנאי האתר.
 
 
 
 
 

כל הזכויות שמורות 2011 © נענע 10 בע"מ
 
 
 
 
כל הזכויות שמורות © Nana10 בע"מ
Video powered by